LLMs em Matemática: Geração de Conjecturas vs Verificação de Provas

Entre o segundo e o terceiro café, muitos teóricos da complexidade leram recentemente uma frase que não esperavam ler: um algoritmo determinístico que conta as atribuições satisfatíveis de uma fórmula booleana arbitrária em tempo aproximado de 2^(n/√(log n)) — subexponencial, no sentido técnico preciso que refuta a Hipótese do Tempo Exponencial (ETH), uma das premissas centrais da área. O resultado não saiu do arXiv de um grupo universitário. Veio de um laboratório de IA, com a prova desenvolvida em colaboração com um grande modelo de linguagem. Seja qual for sua opinião sobre o anúncio, ele marca o momento em que a geração de conjecturas — máquinas propondo matemática nova, e não apenas corrigindo a existente — deixou de ser demonstração.

O laboratório reuniu três resultados: a bomba de teoria da complexidade descrita acima, uma suposta prova da conjectura de Kakeya em todas as dimensões e um resultado de física apresentado como uma completação unificada do Modelo Padrão, retido até que haja verificação formal. A reação seguiu um padrão conhecido: espanto genuíno com o conteúdo e irritação genuína com a embalagem. Críticos compararam o caso a um fabricante de bicicletas anunciando as próprias vitórias em corridas de bicicleta. Comparação certeira, mas o conteúdo merece uma olhada mais lenta, porque por trás desse anúncio existe uma lição real sobre as duas formas muito diferentes como modelos de linguagem tocam a matemática hoje, e sobre qual delas você deveria realmente confiar.

O que o anúncio de matemática com IA realmente afirma

Vamos começar pelo resultado de complexidade, porque é o que tem as apostas mais claras. A Hipótese do Tempo Exponencial diz, grosso modo, que 3-SAT não pode ser resolvido em tempo 2^o(n) — nenhum algoritmo pode ser significativamente subexponencial no número de variáveis. Centenas de artigos em complexidade parametrizada e de granularidade fina dependem da ETH para provar limites inferiores; é o tipo de premissa sobre a qual você empilha uma carreira inteira de teoremas do tipo «condicional à ETH». O novo preprint descreve um algoritmo determinístico de contagem para fórmulas k-CNF que usa espaço polinomial e roda em tempo 2^(n/(log n)^(1/2+o(1))) multiplicado por um fator polinomial. Esse expoente é o(n), exatamente o que a ETH proíbe. O algoritmo continua brutalmente lento — ninguém vai rodá-lo em uma instância real —, mas, assintoticamente, é decisivo. Se a prova se sustentar, uma hipótese que estruturou duas décadas de argumentos de limites inferiores simplesmente deixa de existir.

A segunda alegação mira a conjectura de Kakeya, um problema de teoria geométrica da medida sobre os menores conjuntos que contêm um segmento de reta unitário apontando em todas as direções. O caso tridimensional caiu só em 2025, em uma prova celebrada de Hong Wang e Joshua Zahl que muitos trataram como o ponto alto de uma carreira. O anúncio afirma uma prova em todas as dimensões, o que absorveria esse avanço por completo. O terceiro resultado, em teoria quântica de campos, é o mais vago dos três: descrito como uma «completação unificada do Modelo Padrão», mas ainda não divulgado, aparentemente aguardando uma formalização verificada por máquina. Físicos que leram as prévias suspeitam de algo na família das construções de grande unificação, e não de uma teoria de tudo no sentido literal, e a redação justifica uma boa dose de desconfiança.

Duas coisas sobre o lançamento merecem crédito. O laboratório envolveu matemáticos e físicos em atividade antes de tornar o caso público — uma resposta direta à reação negativa que se seguiu a um anúncio matemático anterior, mais desajeitado, depois do qual Terence Tao e outros pediram publicamente exatamente esse tipo de engajamento. E o resultado de física foi retido até que a formalização terminasse, que é a ordem correta de prioridades. Mas perguntas difíceis continuam sem resposta: ninguém de fora conhece a conta de computação, se o mesmo financiamento destinado a pesquisadores humanos produziria os mesmos teoremas, ou se um laboratório com fins lucrativos continuará financiando trabalho guiado pela curiosidade quando os acionistas tiverem voz. Há ainda o ciclo incômodo que os críticos apontaram de imediato: esses modelos são treinados, em parte, com as perguntas, rascunhos e posts de fórum da mesma comunidade de pesquisa que agora é convidada a aplaudir o resultado.

Verificação de provas vs geração de conjecturas: dois trabalhos diferentes

Tirando o hype, todo sistema de IA para matemática faz um de dois trabalhos. O primeiro é verificação de provas: dado um argumento candidato, decidir se ele é válido. O segundo é geração de conjecturas: dada uma área de problemas, propor o que vale a pena tentar — um lema, uma construção, um algoritmo, um contraexemplo. Parecem duas metades de uma mesma habilidade. Não são. São problemas computacionais diferentes, com oráculos diferentes, modos de falha diferentes e perfis de confiança radicalmente distintos, e confundi-los é o que leva a superconfiar em um comunicado de imprensa ou a descartar progresso real.

A verificação tem um oráculo. Uma prova escrita em Lean ou compila contra o kernel ou não compila, e o kernel não se importa com a confiança com que o autor soou. A verificação falha de forma barulhenta — um bloco de táticas rejeitado não deixa dúvida. A geração não tem oráculo. Uma conjectura proposta pode ser verdadeira, falsa, trivialmente verdadeira ou verdadeira mas publicada em 1987 com outra notação. A geração falha em silêncio, e seus modos de falha são sociais: absurdos plausíveis ou resultados genuínos vestidos de novidade. A qualidade aqui é medida por importância e originalidade, propriedades definidas pelo gosto humano e não por nenhum critério decidível.

Por que a geração ficou boa o bastante para importar de repente? Porque os modelos de raciocínio modernos são treinados para longas cadeias de pensamento, não apenas induzidos a elas por prompt — aprendizado por reforço com recompensas verificáveis, principalmente em matemática e código, onde as respostas podem ser checadas mecanicamente, ensinou esses sistemas a de fato buscar em um espaço de passos em vez de apenas completar texto um a um. A analogia que eu manteria na cabeça é esta: o verificador de provas é um compilador, o gerador de conjecturas é um designer. Os dois são valiosos. Você jamais, em hipótese alguma, deixaria o designer certificar o próprio trabalho.

Uma prova que você não consegue checar é um sermão; uma conjectura que você não consegue testar é um boato.

Onde a verificação automatizada de provas vence

O verificador vence sempre que existe uma verdade de referência formal e o artefato revisado é longo ou tedioso demais para um humano auditar linha por linha. Lean 4 e sua biblioteca comunitária Mathlib se tornaram, na prática, a arena padrão: você escreve definições e provas em uma linguagem de programação, e um kernel pequeno e auditável separadamente decide se cada passo de inferência é legal. A base confiável é minúscula comparada à montanha de matemática construída sobre ela, e essa é exatamente a assimetria que você quer.

O ciclo prático fica assim: o modelo rascunha passos de prova em nível de táticas, o kernel aceita ou rejeita cada um, e as mensagens de rejeição voltam como contexto para a próxima tentativa. É o cenário em que restringir a saída do modelo a uma gramática estrita compensa imediatamente — você só amostra táticas sintaticamente válidas, então classes inteiras de alucinação se tornam impossíveis por construção. Um exemplo mínimo, do tipo de lema que um modelo hoje despacha em segundos:

import Mathlib
-- The sum of two even natural numbers is even.
theorem even_add_even {a b : ℕ} (ha : Even a) (hb : Even b) : Even (a + b) := by
rcases ha with ⟨k, rfl⟩   -- a = k + k for some k
rcases hb with ⟨l, rfl⟩   -- b = l + l for some l
exact ⟨k + l, by ring⟩    -- witness k + l; ring closes the algebra

Repare no que o exemplo mostra sobre a divisão de trabalho. O movimento criativo é escolher a testemunha k + l; o movimento de verificação é o ring conferindo a álgebra. Humanos e modelos são razoavelmente bons no primeiro. Só o kernel é confiável no segundo, e ele nunca se cansa, nunca passa por cima de nada e nunca avalia por intuição. A parte mais crível de todo o anúncio é justamente essa barreira: a alegação de que o artigo de física foi retido até a conclusão da formalização em Lean. Se esse relato for preciso, o fluxo de trabalho está funcionando exatamente como deveria — a máquina propõe, a máquina dispõe, e o comunicado de imprensa espera a sua vez.

Onde a geração de conjecturas vence

A geração vence sempre que o espaço de busca é combinatório e a avaliação é barata. O FunSearch, da DeepMind, estabeleceu o modelo em 2023: um modelo de linguagem propõe hipóteses em forma de programa, um avaliador rápido as pontua, e um laço evolutivo mantém as melhores — uma configuração que produziu novas construções para conjuntos de capas (cap sets) e heurísticas de bin packing melhores do que décadas de ajuste manual. O AlphaEvolve levou a mesma ideia adiante e, entre outros resultados, eliminou uma multiplicação de um algoritmo de multiplicação de matrizes 4×4 que estava de pé desde a era de Strassen. Ninguém afirma que esses sistemas entendem geometria. Eles não precisam. Precisam propor, e o avaliador precisa ser honesto.

O algoritmo da ETH se encaixa nesse padrão de forma quase suspeita. O espaço de «ideias algorítmicas» é enorme, e pesquisadores humanos o exploram com fortes vieses prévios — que é uma forma educada de dizer pontos cegos. Uma construção que exige compor um truque específico de representação com uma estrutura específica de recursão pode ficar sem exploração por trinta anos simplesmente porque nenhum caminho de busca humano passou perto dela. Busca exaustiva, sem vieses e levemente burra é exatamente o que as máquinas trazem para a mesa. A mesma lógica alimenta os laços de gerar-e-refutar: propor uma conjectura e, imediatamente, tentar derrubá-la com uma busca computacional por contraexemplos em casos pequenos. A maioria das conjecturas morre em minutos, e tudo bem — cada refutação afia a próxima proposta, e os sobreviventes são os que valem a tarde de um humano.

Há também uma assimetria psicológica que vale respeitar. A prova tridimensional de Kakeya de Wang e Zahl levou anos de esforço concentrado no topo da área. Se uma busca assistida por modelo produziu de fato um argumento para todas as dimensões, ela quase certamente encontrou uma rota diferente pela paisagem — não necessariamente mais profunda, mas diferente. Diferença é exatamente para o que serve a busca. O perigo não é que máquinas gerem conjecturas; é alguém publicar uma conjectura gerada sem a infraestrutura para sustentá-la. O que nos leva à parte do pipeline que você realmente precisa construir.

Construindo um loop de verificação para provas geradas por IA

Se você quer os benefícios da matemática gerada por máquina sem o constrangimento, o fluxo de trabalho importa mais do que o modelo. Este é o pipeline que eu rodaria, em ordem:

1. Gere de forma ampla e barata. Diversidade vence profundidade nesta etapa; você quer cobertura do espaço de ideias, não uma tentativa polida.
2. Deduplique contra a literatura. A recuperação sobre arXiv e MathOverflow pega a falha mais comum: uma conjectura «nova» que é um resultado conhecido com notação estranha.
3. Aplique filtros empíricos baratos. Teste casos pequenos numericamente, caça contraexemplos computacionalmente e deixe as afirmações obviamente falsas morrerem rápido.
4. Formalize os sobreviventes. Lean, Isabelle ou Rocq — escolha seu assistente de provas, mas entenda que esta é a etapa cara, e uma prova em linguagem natural é um esboço, não um resultado.
5. Revisão humana para novidade e enquadramento. Isso importa? A afirmação é mesmo a certa? Modelos otimizam o que é demonstrável; humanos decidem o que vale a pena demonstrar.

A colaboração anunciada seguiu, em linhas gerais, esse formato — pesquisadores foram chamados antes do lançamento, basicamente ocupando a quinta etapa. Isso é uma melhoria real em relação à velha abordagem de soltar um preprint e deixar as redes sociais julgá-lo. Mas repare na assimetria do pipeline: as etapas um a três são baratas e escalam com computação, a etapa quatro é o gargalo, e a etapa cinco não escala de jeito nenhum. Se você está construindo ferramentas nesse espaço, gaste seu dinheiro no gargalo — melhor autoformalização, melhor retorno de erros para o gerador — e não em um gerador maior e mais confiante.

Por que matemáticos humanos ainda controlam a correção

Nenhum verificador consegue dizer que um teorema importa. A seleção de problemas é gosto, e o gosto é uma tecnologia social construída ao longo de décadas — seminários, pareceres de revisores, o consenso lento sobre quais perguntas abrem portas e quais são becos sem saída. O ceticismo da comunidade de pesquisa em relação a anúncios de fornecedores não é mera vigilância por vigilância; é um sistema imunológico, e sistemas imunológicos às vezes reagem em excesso justamente porque a subreação é fatal.

Depois há a procedência. Esses modelos são treinados com as perguntas, rascunhos e posts de fórum da própria comunidade, o que levanta a possibilidade incômoda de que uma «descoberta» celebrada seja uma recombinação de coisas que seus futuros revisores escreveram. O receio de competir contra a própria ferramenta não é paranoia — é um problema de linhagem de dados, e enquanto os laboratórios não conseguirem demonstrar a linhagem, revisores humanos continuam sendo os únicos detectores de plágio que funcionam. Some a política do crédito — quem é convidado para verificar, quais nomes aparecem no anúncio, acusações de favoritismo — e você entende por que a barreira humana não pode ser removida. Escolher cinco cientistas eminentes para abençoar um resultado é tanto um ato político quanto epistêmico.

Uma cautela para quem for tentado a ler placares como prova de capacidade de pesquisa: medalhas de ouro em competições medem desempenho em problemas desenhados para serem resolvíveis em horas. A pesquisa tem a distribuição oposta — problemas escolhidos justamente porque ninguém sabe se são resolvíveis. É a mesma razão pela qual benchmarks deixam de fora a maior parte do trabalho real em engenharia de software: a métrica recompensa o problema moldado, não o problema bagunçado. Um modelo que acerta problemas de olimpíada demonstrou algo real. Não demonstrou julgamento.

A recomendação: confie no loop, não no modelo

Aqui está minha posição, dita sem rodeios. A geração de conjecturas é real, útil e só vai melhorar; a geração de conjecturas não verificada não vale nada, e provas em linguagem natural sem respaldo formal devem ser tratadas como marketing até prova em contrário. A verificação de provas vence sempre que o artefato precisa ser acreditado. A geração vence sempre que o gargalo é imaginação e não rigor. Os anúncios que importam são aqueles em que as duas coisas estão parafusadas uma à outra.

Então trate o modelo como um colaborador júnior prolífico, com energia infinita e sem julgamento: tudo o que ele entregar passa pelo assistente de provas antes de entrar no artigo, e por um humano com gosto antes de entrar na introdução. Se você é pesquisador, aprenda bem um assistente de provas — a formalização é o gargalo, e as pessoas que sabem conduzi-la estão prestes a ficar muito ocupadas. Se você constrói ferramentas, construa o loop, não a demo. E quando o próximo grande anúncio chegar, pule o comunicado de imprensa, abra o preprint e verifique se o repositório Lean existe. As afirmações que sobrevivem são as que chegam já verificadas por máquina.