LLM से कॉन्जेक्चर जनरेशन बनाम प्रूफ-चेकिंग: कौन जीतेगा

दूसरी और तीसरी कॉफ़ी के बीच में कहीं, हाल ही में कई कम्प्लेक्सिटी थ्योरिस्ट्स ने एक ऐसा वाक्य पढ़ा जिसकी उन्हें उम्मीद नहीं थी: एक डिटरमिनिस्टिक एल्गोरिदम जो किसी भी Boolean formula के satisfying assignments गिनता है, और इसे लगभग 2^(n/√(log n)) समय में करता है। यह sub-exponential है, और बिल्कुल उसी तकनीकी अर्थ में जो Exponential Time Hypothesis को गलत साबित करता है, जो इस क्षेत्र की मुख्य मान्यताओं में से एक है। यह दावा किसी यूनिवर्सिटी ग्रुप के arXiv पेपर से नहीं आया। यह एक AI लैब से आया, और प्रूफ एक large language model के साथ मिलकर विकसित हुआ। इस घोषणा के बारे में आप जो भी सोचें, यह वह पल है जब कॉन्जेक्चर जनरेशन, यानी मशीनों का सिर्फ़ गणित जाँचना नहीं बल्कि नई गणित प्रस्तावित करना, डेमो के दौर से बाहर निकल आया।

लैब ने तीन नतीजे एक साथ पेश किए: ऊपर वाला कम्प्लेक्सिटी धमाका, Kakeya conjecture का सभी आयामों में प्रूफ का दावा, और Standard Model के एक 'unified completion' का भौतिकी नतीजा, जिसे formal verification लंबित होने तक रोककर रखा गया है। प्रतिक्रिया भी एक जानी-पहचानी लीक पर चली: सार पर सच्चा आश्चर्य, और पैकेजिंग पर सच्ची खीझ। आलोचकों ने इसे ऐसे बताया जैसे कोई साइकिल कंपनी साइकिल रेस में अपनी जीत का ऐलान कर रही हो। तुलना सटीक है, फिर भी इस सार को धीरे से देखने की ज़रूरत है, क्योंकि इस घोषणा में एक असली सबक छिपा है: भाषा मॉडल आज गणित को दो बहुत अलग तरीकों से छू रहे हैं, और इनमें से किस पर भरोसा करना चाहिए।

AI गणित की घोषणा असल में क्या दावा करती है

कम्प्लेक्सिटी वाले नतीजे से शुरू करते हैं, क्योंकि यहाँ दांव सबसे साफ़ है। Exponential Time Hypothesis मोटे तौर पर कहती है कि 3-SAT को 2^o(n) समय में हल नहीं किया जा सकता। यानी वेरिएबल्स की संख्या में कोई एल्गोरिदम अर्थपूर्ण रूप से sub-exponential नहीं हो सकता। Parameterized और fine-grained complexity के सैकड़ों पेपर lower bounds साबित करने के लिए इस पर टिके हैं। यह वह मान्यता है जिस पर आप करियर भर के "ETH की शर्त पर" वाले प्रमेय खड़े कर देते हैं। नए preprint में k-CNF formulas के लिए एक डिटरमिनिस्टिक counting एल्गोरिदम बताया गया है जो polynomial space इस्तेमाल करता है और 2^(n/(log n)^(1/2+o(1))) गुणा एक polynomial factor समय में चलता है। यह exponent o(n) है, और ठीक यही ETH वर्जित करती है। एल्गोरिदम अब भी बेहद धीमा है और कोई असली इंस्टेंस पर इसे कभी नहीं चलाएगा, लेकिन asymptotically यह निर्णायक है। अगर प्रूफ टिकता है, तो जिस मान्यता ने दो दशकों के lower-bound तर्कों को खड़ा किया, वह बस अस्तित्व में नहीं रहेगी।

दूसरा दावा Kakeya conjecture को निशाना बनाता है, यह geometric measure theory की एक समस्या है जो उन सबसे छोटे सेट्स के बारे में है जिनमें हर दिशा में इकाई रेखाखंड समा सकें। तीन-आयामी केस 2025 में ही सुलझा, Hong Wang और Joshua Zahl के एक चर्चित प्रूफ से, जिसे कई लोगों ने करियर का शिखर माना। घोषणा सभी आयामों में प्रूफ का दावा करती है, जो उस ब्रेकथ्रू को पूरी तरह समाहित कर लेगा। तीसरा नतीजा quantum field theory से है और तीनों में सबसे धुंधला है: इसे "Standard Model का unified completion" बताया गया है, पर यह अभी जारी नहीं हुआ, और शायद machine-checked formalization का इंतज़ार कर रहा है। टीज़र पढ़ने वाले भौतिकशास्त्रियों को लगता है कि यह किसी grand-unified किस्म के निर्माण की बात है, न कि किसी असली theory of everything की, और शब्दों ने कुछ जायज़ भौंहें चढ़वाई हैं।

रोलआउट की दो बातें तारीफ़ के लायक हैं। लैब ने सार्वजनिक होने से पहले काम करने वाले गणितज्ञों और भौतिकशास्त्रियों को शामिल किया, यह उस विवाद का सीधा जवाब था जो पिछली, ज़्यादा फूहड़ गणित घोषणा के बाद उठा था, और उसके बाद Terence Tao और दूसरों ने इसी तरह की भागीदारी की सार्वजनिक माँग की। और भौतिकी वाला नतीजा तब तक रोका गया जब तक उसका formalization पूरा नहीं हुआ, जो प्राथमिकताओं का सही क्रम है। पर कठिन सवाल अब भी खुले हैं: बाहर किसी को कंप्यूट का खर्च नहीं पता, न यह कि यही पैसा इंसानी शोधकर्ताओं पर लगाया जाता तो क्या ये ही प्रमेय निकलते, और न यह कि एक for-profit लैब शेयरधारकों के वोट देने लगने पर जिज्ञासा-आधारित काम को फंड करती रहेगी। एक असहज चक्र की ओर आलोचकों ने तुरंत इशारा किया: ये मॉडल कुछ हद तक उसी रिसर्च समुदाय के सवालों, ड्राफ्ट और फ़ोरम पोस्ट्स पर ट्रेन हुए हैं, जिससे अब तालियाँ बजाने को कहा जा रहा है।

प्रूफ-चेकिंग बनाम कॉन्जेक्चर जनरेशन: दो अलग काम

हाइप हटा दें तो हर AI-for-mathematics सिस्टम दो में से एक काम करता है। पहला काम है प्रूफ-चेकिंग: एक उम्मीदवार तर्क दिया गया है, तय करना है कि वह वैध है या नहीं। दूसरा काम है कॉन्जेक्चर जनरेशन: किसी समस्या-क्षेत्र को देखकर बताना कि क्या कोशिश करने लायक है, जैसे कोई lemma, कोई construction, कोई एल्गोरिदम या कोई counterexample। सुनने में ये एक ही कौशल के दो हिस्से लगते हैं, पर ऐसा नहीं है। ये अलग computational problems हैं, इनके oracle अलग हैं, failure modes अलग हैं, और भरोसे का स्तर बिल्कुल अलग है। इन्हें मिला देने से आप या तो प्रेस रिलीज़ पर ज़रूरत से ज़्यादा भरोसा करने लगते हैं या असली प्रगति को नज़रअंदाज़ कर देते हैं।

चेकिंग के पास एक oracle होता है। Lean में लिखा प्रूफ या तो kernel के खिलाफ compile होता है या नहीं होता, और kernel को इससे फ़र्क नहीं पड़ता कि लेखक कितने आत्मविश्वास से बोल रहा था। चेकिंग ज़ोर से फेल होती है, रिजेक्ट हुआ tactic block बिल्कुल साफ़ होता है। जनरेशन के पास कोई oracle नहीं होता। प्रस्तावित कॉन्जेक्चर सच हो सकता है, झूठ हो सकता है, तुच्छ रूप से सच हो सकता है, या सच हो पर 1987 में अलग notation में छप चुका हो। जनरेशन चुपचाप फेल होती है, और इसके failure modes सामाजिक होते हैं: सुनने में ठीक लगने वाली बकवास, या असली नतीजों को नई चीज़ बनाकर पेश करना। यहाँ गुणवत्ता महत्व और मौलिकता से नापी जाती है, ये ऐसे गुण हैं जो किसी decidable कसौटी से नहीं, बल्कि इंसानी स्वाद से तय होते हैं।

जनरेशन अचानक इतनी अच्छी कैसे हो गई कि मायने रखे? क्योंकि आधुनिक reasoning models को लंबी chain of thought के लिए ट्रेन किया जाता है, सिर्फ़ prompt करके नहीं। Verifiable rewards पर reinforcement learning, ज़्यादातर गणित और कोड में जहाँ जवाब मशीन से जाँचे जा सकते हैं, इन सिस्टम्स को सिखाता है कि वे सिर्फ़ एक-एक शब्द autocomplete न करें, बल्कि steps के स्पेस में असल में खोज करें। एक एनालॉजी मन में रखिए: प्रूफ-चेकर एक compiler है, कॉन्जेक्चर जनरेटर एक designer है। दोनों मूल्यवान हैं। पर designer को अपना काम खुद प्रमाणित करने देना कभी नहीं।

जिस प्रूफ को आप जाँच नहीं सकते वह प्रवचन है; जिस कॉन्जेक्चर को आप परख नहीं सकते वह अफ़वाह है।

जहाँ स्वचालित प्रूफ-चेकिंग जीतती है

चेकर वहाँ जीतता है जहाँ formal ground truth मौजूद है और जिस artifact की समीक्षा करनी है वह इतना लंबा या उबाऊ है कि इंसान उसे लाइन-दर-लाइन ऑडिट नहीं कर सकता। Lean 4 और उसकी community library Mathlib यहाँ व्यावहारिक अखाड़ा बन चुके हैं: आप एक प्रोग्रामिंग भाषा में definitions और proofs लिखते हैं, और एक छोटा, अलग से ऑडिट किया जा सकने वाला kernel तय करता है कि हर inference step वैध है या नहीं। Trusted computing base उस गणित के पहाड़ के मुकाबले बहुत छोटा है जो उस पर खड़ा है, और ठीक यही असमानता आप चाहते हैं।

व्यावहारिक लूप कुछ ऐसा दिखता है: मॉडल tactic-स्तर के प्रूफ steps का ड्राफ्ट बनाता है, kernel हर step को स्वीकार या रिजेक्ट करता है, और रिजेक्शन के संदेश अगली कोशिश के लिए context में वापस डाले जाते हैं। यही वह सेटिंग है जहाँ मॉडल के आउटपुट को सख़्त grammar में बाँधना तुरंत फ़ायदा देता है। आप केवल syntactically वैध tactics ही sample करते हैं, इसलिए hallucination की पूरी श्रेणियाँ construction से ही असंभव हो जाती हैं। एक छोटा उदाहरण, उस तरह का lemma जिसे अब मॉडल सेकंडों में निपटा देता है:

import Mathlib
-- The sum of two even natural numbers is even.
theorem even_add_even {a b : ℕ} (ha : Even a) (hb : Even b) : Even (a + b) := by
rcases ha with ⟨k, rfl⟩   -- a = k + k for some k
rcases hb with ⟨l, rfl⟩   -- b = l + l for some l
exact ⟨k + l, by ring⟩    -- witness k + l; ring closes the algebra

ध्यान दीजिए कि यह उदाहरण काम के बँटवारे के बारे में क्या दिखाता है। रचनात्मक कदम है witness k + l चुनना; जाँच का कदम है ring का algebra को सत्यापित करना। इंसान और मॉडल दोनों पहले काम में ठीक-ठाक हैं। दूसरे काम पर सिर्फ़ kernel भरोसेमंद है, और वह कभी थकता नहीं, कभी सरसरी नज़र नहीं डालता, और कभी vibes के आधार पर नंबर नहीं देता। पूरी घोषणा का सबसे भरोसेमंद हिस्सा यही gate है: यह दावा कि भौतिकी वाला पेपर Lean formalization पूरा होने तक रोका गया। अगर यह वृत्तांत सही है, तो यह workflow ठीक वैसे काम कर रहा है जैसा उसे करना चाहिए: मशीन प्रस्ताव देती है, मशीन जाँचती है, और प्रेस रिलीज़ अपनी बारी का इंतज़ार करती है।

जहाँ कॉन्जेक्चर जनरेशन जीतती है

जनरेशन वहाँ जीतती है जहाँ खोज-स्पेस combinatorial हो और मूल्यांकन सस्ता हो। DeepMind के FunSearch ने 2023 में यह ढाँचा स्थापित किया: एक भाषा मॉडल program-जैसी hypotheses प्रस्तावित करता है, एक तेज़ evaluator उन्हें स्कोर करता है, और एक evolutionary loop सबसे अच्छों को बचाए रखता है। इस सेटअप ने cap sets के लिए नए constructions और bin-packing heuristics दिए, जो दशकों की हाथ से की गई ट्यूनिंग से बेहतर थे। AlphaEvolve ने यही विचार और आगे बढ़ाया और, दूसरे नतीजों के साथ, 4×4 matrix multiplication एल्गोरिदम से एक multiplication घटा दिया, जो Strassen के ज़माने से चला आ रहा था। कोई यह दावा नहीं करता कि ये सिस्टम ज्यामिति समझते हैं। उन्हें समझने की ज़रूरत भी नहीं है। उन्हें प्रस्ताव देने हैं, और evaluator को ईमानदार होना है।

ETH वाला एल्गोरिदम इस पैटर्न में लगभग संदिग्ध रूप से फिट बैठता है। "एल्गोरिदमिक विचारों" का स्पेस विशाल है, और इंसानी रिसर्चर उसे मज़बूत पूर्वाग्रहों के साथ खोजते हैं, जो विनम्र शब्दों में अंधे धब्बे हैं। कोई construction जिसमें एक खास representation trick को एक खास recursion structure के साथ जोड़ना पड़े, तीस साल तक अनखोजा पड़ा रह सकता है, सिर्फ़ इसलिए कि किसी की खोज की राह उसके पास से कभी गुज़री ही नहीं। बिना पूर्वाग्रह वाली, संपूर्ण, थोड़ी बेवकूफ़ाना खोज ही वह चीज़ है जो मशीनें मेज़ पर लाती हैं। यही तर्क generate-and-refute loops को भी चलाता है: कॉन्जेक्चर प्रस्तावित करो, और तुरंत छोटे केसों पर counterexamples की computational खोज से उसे मारने की कोशिश करो। ज़्यादातर कॉन्जेक्चर मिनटों में मर जाते हैं, और यह ठीक है, क्योंकि हर खंडन अगले प्रस्ताव को तेज़ करता है, और जो बचते हैं वही किसी इंसान की दोपहर के लायक होते हैं।

एक मनोवैज्ञानिक असमानता का भी सम्मान करना चाहिए। Wang और Zahl के तीन-आयामी Kakeya प्रूफ में फील्ड के सबसे ऊपरी स्तर पर सालों की केंद्रित मेहनत लगी। अगर मॉडल-सहायता वाली खोज सचमुच सभी-आयामों वाला तर्क ढूँढ लेती है, तो लगभग तय है कि उसने परिदृश्य में कोई अलग रास्ता पकड़ा है, ज़रूरी नहीं कि गहरा हो, पर अलग तो है। अलग होना ही खोज का मकसद है। ख़तरा यह नहीं कि मशीनें कॉन्जेक्चर बनाती हैं; ख़तरा यह है कि कोई जनरेट किया गया कॉन्जेक्चर बिना उसके पीछे की मशीनरी के प्रकाशित कर दे। और यहीं से पाइपलाइन का वह हिस्सा शुरू होता है जिसे आपको असल में बनाना है।

AI-जनरेटेड प्रूफ के लिए वेरिफिकेशन लूप बनाना

अगर आप मशीन-निर्मित गणित के फ़ायदे बिना शर्मिंदगी के चाहते हैं, तो workflow मॉडल से ज़्यादा मायने रखता है। यह पाइपलाइन मैं इसी क्रम में चलाऊँगा:

1. व्यापक और सस्ता जनरेशन करें। इस चरण में विविधता गहराई से ज़्यादा काम की है; आपको एक चमकाए हुए प्रयास की नहीं, विचार-स्पेस के कवरेज की ज़रूरत है।
2. साहित्य के विरुद्ध डुप्लिकेट हटाएँ। arXiv और MathOverflow पर retrieval सबसे आम विफलता पकड़ता है: एक "नया" कॉन्जेक्चर जो दरअसल अनजान notation में पहले से ज्ञात परिणाम है।
3. सस्ते अनुभवजन्य फ़िल्टर लगाएँ। छोटे केसों को संख्यात्मक रूप से जाँचें, computationally counterexamples खोजें, और साफ़ तौर पर गलत कथनों को जल्दी मरने दें।
4. बचे हुए कॉन्जेक्चर को formalize करें। Lean, Isabelle या Rocq चुनें, पर समझें कि यही महँगा चरण है और प्राकृतिक भाषा का प्रूफ एक स्केच है, नतीजा नहीं।
5. नवीनता और प्रस्तुति के लिए इंसानी समीक्षा करें। क्या यह मायने रखता है? क्या कथन सही है? मॉडल वही अनुकूलित करते हैं जो सिद्ध हो सके; यह तय करना इंसान का काम है कि क्या सिद्ध करने लायक है।

घोषित सहयोग इसी ढाँचे के आसपास चला: रिलीज़ से पहले शोधकर्ताओं को लाया गया, यानी पाँचवें चरण को प्रभावी रूप से स्टाफ़ किया गया। पुराने तरीके से, यानी प्रीप्रिंट गिराकर सोशल मीडिया को उसकी समीक्षा करने देना, यह एक असली सुधार है। पर पाइपलाइन की असमानता पर ध्यान दीजिए: पहले तीन चरण सस्ते हैं और कंप्यूट के साथ बढ़ते हैं, चौथा चरण बॉटलनेक है, और पाँचवाँ चरण बिल्कुल नहीं बढ़ता। अगर आप इस क्षेत्र में टूलिंग बना रहे हैं, तो अपना पैसा बॉटलनेक पर लगाएँ, जैसे बेहतर autoformalization, या generator तक बेहतर error feedback, न कि एक बड़े और ज़्यादा आत्मविश्वासी generator पर।

इंसानी गणितज्ञ correctness का गेट अब भी क्यों संभालते हैं

कोई verifier आपको नहीं बता सकता कि कोई प्रमेय मायने रखता है या नहीं। समस्या चुनना स्वाद का काम है, और स्वाद दशकों में बनी एक सामाजिक तकनीक है: सेमिनार, referee reports, और इस बारे में धीमी सहमति कि कौन से सवाल दरवाज़े खोलते हैं और कौन से बंद गलियाँ हैं। विक्रेताओं की घोषणाओं के प्रति रिसर्च समुदाय का संदेह सिर्फ़ गेटकीपिंग के लिए गेटकीपिंग नहीं है; यह एक immune system है, और immune systems कभी-कभी ज़रूरत से ज़्यादा प्रतिक्रिया देते हैं, क्योंकि कम प्रतिक्रिया घातक होती है।

फिर provenance का सवाल है। ये मॉडल समुदाय के अपने सवालों, ड्राफ्ट्स और फ़ोरम पोस्ट्स पर ट्रेन हुए हैं, जिससे एक असहज संभावना बनती है कि कोई प्रशंसित "खोज" दरअसल उन्हीं चीज़ों का पुनर्संयोजन है जो उसके भावी referees ने खुद लिखी थीं। अपने ही टूल से दौड़ में होने का डर पागलपन नहीं है; यह data-lineage की समस्या है, और जब तक लैब lineage नहीं दिखा पातीं, इंसानी referees ही एकमात्र काम करने वाले plagiarism detectors हैं। ऊपर से श्रेय की राजनीति जोड़ दीजिए: किसे सत्यापन के लिए बुलाया जाए, घोषणा में किसका नाम जाए, पक्षपात के आरोप। तब समझ आता है कि इंसानी गेट क्यों हटाया नहीं जा सकता। किसी नतीजे पर मुहर लगाने के लिए पाँच प्रतिष्ठित वैज्ञानिकों को चुनना उतना ही राजनीतिक कृत्य है जितना ज्ञानमीमांसीय।

लीडरबोर्ड को शोध-क्षमता का पैमाना मानने वालों के लिए एक और चेतावनी: प्रतियोगिता के गोल्ड मेडल उन समस्याओं पर प्रदर्शन नापते हैं जो घंटों में हल होने लायक बनाई गई हैं। रिसर्च इसका उल्टा वितरण है, यहाँ समस्याएँ इसीलिए चुनी जाती हैं क्योंकि किसी को पता नहीं होता कि वे हल हो भी सकती हैं या नहीं। यही कारण है कि बेंचमार्क सॉफ़्टवेयर इंजीनियरिंग के ज़्यादातर असली काम को छूट जाते हैं: मेट्रिक गढ़ी गई समस्या को इनाम देता है, गंदी असली समस्या को नहीं। जो मॉडल ओलंपियाड के सवाल आसानी से हल करता है, उसने कुछ असली दिखाया है। उसने विवेक नहीं दिखाया है।

सिफ़ारिश: मॉडल पर नहीं, लूप पर भरोसा करें

मेरी स्थिति साफ़ शब्दों में यह है: कॉन्जेक्चर जनरेशन असली है, उपयोगी है, और आगे और बेहतर होगी; पर बिना सत्यापन का कॉन्जेक्चर जनरेशन बेकार है, और formal समर्थन के बिना प्राकृतिक भाषा के प्रूफ को तब तक मार्केटिंग समझना चाहिए जब तक साबित न हो जाए। जब भी artifact पर भरोसा करना ज़रूरी हो, प्रूफ-चेकिंग जीतती है। जब बॉटलनेक कठोरता नहीं बल्कि कल्पना हो, जनरेशन जीतती है। जो घोषणाएँ मायने रखती हैं वे वही हैं जहाँ दोनों एक साथ जोड़े गए हों।

तो मॉडल को एक प्रोलिफ़िक जूनियर सहयोगी मानिए, जिसके पास अनंत ऊर्जा है और विवेक नहीं: जो कुछ वह आपको दे, उसे पेपर में जाने से पहले proof assistant से गुज़रना चाहिए, और introduction में जाने से पहले स्वाद वाले इंसान से। अगर आप रिसर्चर हैं, तो एक proof assistant ठीक से सीखिए, क्योंकि formalization ही बॉटलनेक है, और जो लोग उसे चला सकते हैं वे बहुत व्यस्त होने वाले हैं। अगर आप टूल बना रहे हैं, तो डेमो नहीं, लूप बनाइए। और अगली बड़ी घोषणा आने पर प्रेस रिलीज़ छोड़िए, प्रीप्रिंट खोलिए, और देखिए कि Lean repository मौजूद है या नहीं। जो दावे टिकते हैं, वे वही हैं जो पहले से मशीन-जाँचे हुए आते हैं।